«Турецкий цикл» лунного календаря. В этом цикле 8 лунных лет по 354,36706 дня содержат приблизительно 2835 дней. Но 8 простых лунных лет по 354 дня содержат всего 2832 дня. Поэтому для того, чтобы по прошествии 8 лет новолуния вновь совпали с началом лунного календарного года, необходимо добавить трое суток, т. е. три года цикла сделать високосными, состоящими из 355 дней. Тогда получим новое соотношение:

354X5+355X3=2835 дней.

В таком цикле високосные годы надо распределить так, чтобы к концу каждого года ошибка не превышала половины дня. Это достигается только в том случае, если високосные годы придутся на 2-й, 5-й и 7-й годы каждого восьмилетия.

Интересно отметить, что период в 2835 дней состоит из целого числа недель, вследствие чего к концу периода новолуния падают снова на те же дни недели. Это дает возможность составить «вечный» лунный календарь, т. е. такие таблицы, которые в каждом 8-летнем периоде показывают соответствие чисел месяца и дней недели. Такие таблицы по-турецки называются «руз-намэ», что значит «книга дней».

«Арабский цикл» лунного календаря. В этом цикле 30 лунных лет по 354,36706 дня содержат приблизительно 10 631 день. Но 30 простых лет по 354 дня содержат только 10 620 дней. Поэтому за каждые 30 лет новолуние будет запаздывать почти точно на 11 дней. Очевидно, придется к 11 годам каждого 30-летнего цикла прибавлять по одному дню. Тогда 19 простых лет будут содержать по 354 дня и 11 високосных лет по 355 дней.

При определении того, какие годы считать високосными в этом календаре, было принято то же правило, что и при распределении високосных лет в «турецком цикле», а именно: ошибка календаря к концу каждого календарного года не должна превышать 0,5 дня, если предполагать, что в начале цикла она была равна нулю. Учитывая это, наиболее целесообразно считать високосными годами следующие годы 30-летнего цикла: 2-й, 5-й, 7-й, 10-й, 13-й, 16-й, 18-й, 21-й, 24-й, 26-й и 29-й.

Следует еще иметь в виду, что при таком чередовании високосных годов соблюдается обязательное требование, чтобы первое число каждого месяца и начало нового года хорошо совпадало с неоменией, т. е. днем первого появления на небе новой Луны.

Математическая теория лунных календарей. Рассмотренные нами два вида лунных календарей являются только частными случаями. В общем виде задача могла быть решена так же, как она решалась в теории солнечных календарей. В этом случае, исходя из равенства 29,530588X12=354,36706, нам следует десятичную часть продолжительности лунного года, т. е. величину 0,36706, разложить в непрерывную дробь. Тогда будем иметь