Последовательное решение этого равенства приведет к следующим подходящим дробям: 1/2, 1/3, 3/8, 4/11,7/19, 11/30, 29/79, 40/109...

Здесь значения К=3/8 и К=11/30 являются теми подходящими дробями, которые были найдены иным методом для «турецкого» и «арабского» циклов лунных календарей.

Лунно-солнечные календари и их математическая теория. Лунно-солнечные календарные системы намного сложнее как лунных, так и солнечных календарей. Здесь необходимо, чтобы начала календарных месяцев возможно ближе располагались к новолунию, а сумма некоторого числа целых лунных месяцев возможно точнее соответствовала истинной продолжительности тропического года.

Таким образом, в лунно-солнечном календаре необходимо согласовать смену лунных фаз с годичным движением Солнца. В основу теории лунно-солнечного календаря положены следующие постоянные величины: 1 тропический год = 365,24220 суток, 1 синодический месяц = 29,53059 суток.

Разделив первую величину на вторую, получим

 

 

Значит, в солнечном году 12 полных лунных месяцев и некоторая дробь.

Аналогично тому, как мы поступали при рассмотрении математической теории как солнечного, так и лунного календаря, полученную простую дробь развернем в непрерывную и получим ряд подходящих дробей. В общем виде эта дробь может быть представлена так:

 

 

Последовательно решая ее, получим подходящие дроби: 1/2, 1/3, 3/8, 4/11, 7/19, 123/334, 376/1021 и т. д.

Эти дроби дают нам следующие приближенные равенства:

1) 1 солнечный год = 127 и 1/2 лунного месяца, или 2 солнечных года = 25 лунным месяцам;

2) 1 солнечный год = 12 и 1/3 лунного месяца, или 3 солнечных года = 37 лунным месяцам;

3) 1 солнечный год = 12 и 3/8 лунного месяца, или 8 солнечных лет = 99 лунным месяцам;

4) 1 солнечный год = 12 4/11 лунного месяца, или 11 солнечных лет = 136 лунным месяцам;

5) 1 солнечный год = 12 и 7/19 лунного месяца, или 19 солнечных лет = 235 лунным месяцам;

6) 1 солнечный год = 12 и 123/334 лунного месяца, или 334 солнечных года = 4131 лунному месяцу.